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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 #QL?i@0M  
n3 .y,  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. L`I0t<D  
cF}HpZ\^<  
  1、三角函数本质: b>rK [  
QMX;_dD}  
  三角函数的本质来源于定义 t?8OMms  
$as+F0r  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 D5;\l   
08A ^@<:K  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :J|&fe9:  
:Xf~!b "  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: Trtl0Rn%  
Q7%Os  
  推导: X*1L+Z. F  
u.dVTb  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 SyR*LWA  
~R# kwwnJ"  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) A[lYd^^ JH  
B?:[G[t"  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) k+up97Cs(  
?X6|a|\)  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ml le!ch&z  
| nXks  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 3L=l Ox[  
9KBc5k$4G  
  [1] eh}dpWNas  
Ky]4 !}  
  两角和公式 x(!AH9  
2WEe7  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB fnU5omzS  
Xb_yGD  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {|`lSfV2  
QC4 T `iWH  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB *,ma@w  
c?L`*r)  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Fp1$ 9r n  
4Y;cWEmv  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5Ti1Io{v  
,>{YK%  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) H*\@@D-iS  
Ymc*a=Uj(U  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  %D$M8+o  
\[(,tJ  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) , p.~Fi  
.Ox\j)tg  
倍角公式 {W$uW|/W  
>`% =h9=  
  Sin2A=2SinA•CosA $`j AVE J  
@n&I?Tz  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 kdMijd_9~  
D TR__ z  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) z+H))36  
&<T&LV*t  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) "4,WU6Z  
- S6Lw)D  
三倍角公式 KLGcx'$  
U{we{#Es  
   r= K67n  
3n4,t0Ig  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 6Ad7!Bldp5  
teP#<"m  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) (5L{C/  
bj MP!  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,nLkv+@N  
SHg"m\  
三倍角公式推导 x7(Do  
*T)ZxSz  
  sin3a :&6<F_(]C  
(}x=|bH  
  =sin(2a+a) O1ZNSR^~  
8lD46|ON3  
  =sin2acosa+cos2asina aC:Adf=/o  
T/eU1-hm"  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina # .;y, e,  
qGl-N0]~Nw  
  =3sina-4sin³a k\ms aywQ  
Z!Jv&uw?t  
  cos3a N2F ,m$XD  
-VW)"Gp  
  =cos(2a+a) kq\[)_"fM  
\#4 <  
  =cos2acosa-sin2asina URK\ .2S  
/,~s633a  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tmQG(iQ  
vYc3_Zw|  
  =4cos³a-3cosa *e T,  
APw#za  
  sin3a=3sina-4sin³a o-WpQzUg6\  
(W"Orr4  
  =4sina(3/4-sin²a) Z-pSZFh  
6FHK:{??l  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] vZ:+m=j  
s~Uctp{  
  =4sina(sin²60°-sin²a) Z;oUk6Y~  
7GZ #q  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) q?nk"3+  
_!OP)Lfc  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )<[TBSkP/  
/#HR|"Z/K  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) i^ ADd9:  
\;W9=ka  
  cos3a=4cos³a-3cosa $e]sf[=  
\`WPKR4  
  =4cosa(cos²a-3/4) i(7ze+F'_\  
}[ `Nn'p  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] _&Y?5'EXQ  
#qUQHe-  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) f/L fuJ @a  
BXs[9VA,/V  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Mn~ )C;i  
xUY ).U?#  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} /%WjrNI^P]  
slh~$\?  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ".}!4FZM:  
\_0MH&_  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :=iV+5!^  
'1z&u\,  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] + +@?*9@  
#@$gP]?~  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3j"wP0,t?  
NQs~G1oo!  
  上述两式相比可得 .)W`+w 5  
r_U> '   
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) FH\m~iI  
-NG/p4   
半角公式 Q-K5U$`  
wfpB7[~  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [(LRswp  
E>NlZX0n  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. leN6:4!x  
az>{e#_Rn  
和差化积 ,RxGtw&v  
uwy'kg  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `_6PM<D  
9tAwSD  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4@ev]Wuf  
/m1Nu I$  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P/E? XC9  
>z5q"a% Z  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uP 1d EnR  
<N\m\2.M  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0O&Mm2:Q  
\ 4A#|  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5FTJ~l/8.  
&MJiIT!t  
积化和差 Wbl?h$  
MEi7(YQl$  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &Nb{0!9'a{  
%-O t)  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] y:/:iI  
+Qjx\+I|  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -2 LE%  
`]{?g>3brz  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] vUCk# d  
.vlF{&#N~  
诱导公式 :6a!`  
,:qI~p@L$  
  sin(-α) = -sinα DjJM;p~r+  
1Ym7ZMN  
  cos(-α) = cosα |,Me]R=}  
<#WFP9.S  
  sin(π/2-α) = cosα | 9!S0  
 ?K 0&?0  
  cos(π/2-α) = sinα h~z.%%,G}  
-1*`J,  
  sin(π/2+α) = cosα ^BnPim  
?q6r ~  
  cos(π/2+α) = -sinα NCztqMG  
p_ZUU==  
  sin(π-α) = sinα G6 g0Ho'j  
`7j2pa}2  
  cos(π-α) = -cosα " [NArMz  
! 8Fz 6  
  sin(π+α) = -sinα r'tq;|tG+  
`L*9I"  
  cos(π+α) = -cosα )uS;  
GS U6=\+n  
  tanA= sinA/cosA |aBijxApm  
p<OT<EG  
  tan(π/2+α)=-cotα cZ!/`} \  
qw^.P>1t  
  tan(π/2-α)=cotα .A$D#'X  
%.P#X]Dn#  
  tan(π-α)=-tanα ;Cnr# 2V  
Pk#8ZI i=  
  tan(π+α)=tanα %}k%N|,  
(L4Zd <  
万能公式 @i|ue<dUD  
-Q2jFK M  
   R)T0*.|kiK  
~;|;Fw>  
其它公式 wSZLM7P  
ST5P:f6  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 { =[ |ZDI  
~P fZ*3  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 RAE_>je  
v_$Gc)kq  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 }Gfq)   
K-o+sP=  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K3[BIKBq  
].MqUV7M  
  对于任意非直角三角形,总有 kvTa@D>l  
(B9rGjj  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Nsh12;,  
* =!+uRF6  
  证: zmJD!Puug  
l3}q ~  
  A+B=π-C QY6|zm,  
/0FgNnS"  
  tan(A+B)=tan(π-C) gs`/ :"r.  
i<Vn{Ef  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %80N9KVQ8v  
!=C\k(VMk  
  整理可得 .&x}"2_k  
R!'SIp  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y(n{.x=  
\&)l  
  得证 _@iVi<?  
) 0T|  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +FU{:+3]  
_2Zt h!l|  
其他非重点三角函数 $e@zbnO  
C>3)*cYu  
  csc(a) = 1/sin(a) wq|^rj  
KZ_j-c"X6  
  sec(a) = 1/cos(a) t C[&&V  
>E&X-ZA  
   ;OwLPN!_:  
$3Z f@  
双曲函数 ?&?vy7}|d  
;?#u6D9  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 I?ytTn)w  
kSm`@P?T  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^ND@} s8Et  
?#Rl[hN  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) K@z8 N{\  
. 7D*w1q  
  公式一: :cWJLs-p  
9Hg9Ys$`K  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: tS7_z1r:  
Rk)j4A! l  
  sin(2kπ+α)= sinα by*8lQ'c  
G1<~?8&  
  cos(2kπ+α)= cosα UP@ {  
H8SAb' 0:  
  tan(kπ+α)= tanα C e.p  
YhhGVZ]  
  cot(kπ+α)= cotα (S&f9gBab  
kDx,kQ  
  公式二: HE3IfnJ  
t cUulw  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: DskAva&6  
-&3DA@bS  
  sin(π+α)= -sinα hBRP`  
|ue}QJ  
  cos(π+α)= -cosα hmn9$8  
9gE/gj_h  
  tan(π+α)= tanα j^^b?j1  
sYEuF-C  
  cot(π+α)= cotα 4B3*14,   
VDc5uU~\1p  
  公式三: (Nkc1j8  
:{d@XYj)?  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: =),"xPy=  
^n4 V4E  
  sin(-α)= -sinα ^UH"  
3&aJjgWx  
  cos(-α)= cosα a*h>r9qm  
L[QnJVwI  
  tan(-α)= -tanα )46e*(y~N  
'Hzb63I  
  cot(-α)= -cotα Yf9SgX?b  
%>?U9&9>4  
  公式四: ZmsEJ*~9  
(e|,I i:K!  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: vw0EOc@  
P:cupt[  
  sin(π-α)= sinα )nR,}y  
*j8 4c;<-  
  cos(π-α)= -cosα "LV;eQ6s  
!x(x=Dsd(  
  tan(π-α)= -tanα CyT:h]:  
$%|U !<  
  cot(π-α)= -cotα {a5gFE<n'  
],rJj>"u  
  公式五: mOp++<sq  
';C&:"  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: _Rh7OH\|  
`@ [fFk:  
  sin(2π-α)= -sinα v9%]`a% y  
gz(DeSzX(  
  cos(2π-α)= cosα 74. "@z_y  
jVnAhyinO  
  tan(2π-α)= -tanα d~4=-Vqc&  
9=$[}lF/,  
  cot(2π-α)= -cotα [Y-{_UmT}  
e? kJrzU+  
  公式六: p4x?y!  
9kh1L*&  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 3fd6b;p#<u  
fyAs~nV>  
  sin(π/2+α)= cosα \$pR*  
8w_aOL  
  cos(π/2+α)= -sinα JsC>.Lw  
5- q<_pQa  
  tan(π/2+α)= -cotα _o\d< (V  
r_nqf 9  
  cot(π/2+α)= -tanα zrQU' HdM  
F'No7hk  
  sin(π/2-α)= cosα 'BP $,4  
[ jV<  
  cos(π/2-α)= sinα mc!;M(<._Q  
,5EW9`6  
  tan(π/2-α)= cotα 9C&,K*>At  
wve;O5)@  
  cot(π/2-α)= tanα ! v6unc  
w/l}$,"K  
  sin(3π/2+α)= -cosα mF/c2kV*w  
L$}v-Q5&t  
  cos(3π/2+α)= sinα UQ} AII   
9z*r M'  
  tan(3π/2+α)= -cotα @ cTUk?DH  
`7CWXA|`  
  cot(3π/2+α)= -tanα i7OONg-KY  
y8 mb0)Bi  
  sin(3π/2-α)= -cosα z c<lc  
B-u(Tl=  
  cos(3π/2-α)= -sinα B24P)  
DZq^uis  
  tan(3π/2-α)= cotα FRIH,C]? M  
3T -;zH  
  cot(3π/2-α)= tanα )g\XS/  
iS]e^Xo  
  (以上k∈Z) ^:-Qs}hg`  
S}A>,~4TQ  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 J'}$4oyl  
Bp$XT)}4B  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5gziv$./  
q|><P+Z  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5x= es  
P{PH"|=42  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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