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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 7!2sz0#P  
),f~ x  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. zNb\{\UN  
n, Bo+{  
　　1、三角函数本质： zTJC  
F<prCXe  
　　三角函数的本质来源于定义 ~ G_FY  
z2=`=u|'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *gF8B?&+)  
pbPxO!uCTS  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 i^]k-LI}W  
QT1(P< 2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： %'zi;c fr  
E *rAS"  
　　推导：  U}<PR  
/\3) I~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 njkOKW  
W?oZY`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) hd,@S9h(M  
~m!aW>BpY  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ey ?M[^[  
W/!$F'RF  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i4MQl,zKk  
,NNu-{d4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） KX/v rKaj?  
t I-74  
　　[1] bj'. hu,  
Xg,.8Dsx  
　　两角和公式 NfTb.<@G  
bn6CpsO]a  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB B!.bMy  
F>ym~T  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  u$2T  
.'ci9WGG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB z#M?ZamDt  
a**z7$y  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB SgeThe  
cQ!u'%Cr9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _.eti  
>+00LPj*  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jj *Zq?  
M{P(:Io  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n[}V!30n  
KH# b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ueHlY o)y  
6.hju'*e  
倍角公式 %VY26:  
h5s}tc.4  
　　Sin2A=2SinA•CosA $HeY|Pu/  
 t%qc^S  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 5 FSw$g,  
Sd?H= zo  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） T9}&J"mb  
[9_c+Dt  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） OmG+05G  
$ *kk!a~v  
三倍角公式 >DclT{  
 `JsqM  
　　 1'k@-~2I  
;4{)1Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) HZHADf<g  
fBCzXi  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) urA:. |So  
Fh$}~  Wo  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) z .L?|A  
PE F4   
三倍角公式推导 ]KCmEM&8L;  
gk{h!ga  
　　sin3a B uw'sE%%  
eruRRV_a  
　　=sin(2a+a) -xfK *$[Z  
?%Yg;]w.a  
　　=sin2acosa+cos2asina BA@b9 zDW  
Jy!HMv@1  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina + p }Pt?  
gz|v33CLz  
　　=3sina-4sin³a F/3J|.y}  
-l+>wM-Q  
　　cos3a od[v=FP6qa  
5adX:^  
　　=cos(2a+a) -"Vrw  
i_Ll|OGG,  
　　=cos2acosa-sin2asina g.+&$f_S  
E~l/vBI  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~Mx5 ,   
=*D8O1  
　　=4cos³a-3cosa m80FN9~  
nSH?|p0  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4ju`5,J  
gqF:6#  
　　=4sina(3/4-sin²a) `nq,7;u  
$+.n@B TT  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6 H[?za%GR  
x}\]'i:m  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;C8jex_n  
Y07g ueIj  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) EJ //Pe}M  
7/QIk Id0  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] S84`8KCR  
"DV(8X~{^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 237Z"}L1>U  
5VEr %+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa U0tr_s]>-  
;1'}/x6S  
　　=4cosa(cos²a-3/4) llfzp*=  
fe+\)@0O?K  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] WE*f_Dl  
c|_ KCK  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?pb-I[bH  
CWY  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1GN7$G\0  
Ol 5 /3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Y>M8XZT>0  
]jB!|9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /z0q]BB>  
w@t1VQYv  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] e u\XFG  
[i8uF6iS  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ebxM.@Kg  
3~~g,EI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) rn#'#;q  
&eI%U64  
　　上述两式相比可得 M<e{w0  
Rr 9U  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) I ,$  
5S U*Hm  
半角公式 ;P 9e06  
UbKsTv $  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 8NE5RvC)  
vDaY$C^5f  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `j"2+ 3-/  
Z|%.O&SJ  
和差化积 L^/f[:^ A  
4v.IPg<j  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^K?)L|o(  
s>2fD\$5r  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ) qiM8f<  
'}h8"HR#  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N`(eF4_  
<kJ#n9^G  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #y! .i#<  
7y_SY?&_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) SB$Uy+#   
XH&y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~+9xpYI+/  
MF 4@r,oXp  
积化和差 S3oZS(;{  
=]|<|WhQv  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &=Wot  
omZdcGz*  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] AFmX  
i!P$x3  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] rt-O6Gk<  
[O}Hf|B  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Wc(ff%  
ye$z8+@4  
诱导公式 0Y`'[?oqO  
m QzX D  
　　sin(-α) = -sinα ?c44K;94  
?prkvBU  
　　cos(-α) = cosα Mg)D\Q{ {}  
LBVJ7zOv  
　　sin(π/2-α) = cosα m*7^ yu  
)#T!T2&6  
　　cos(π/2-α) = sinα } *(Sbqa-G  
xT6_{!!=  
　　sin(π/2+α) = cosα C& [Js|<  
5:juJKB|X  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3B = +  
>,j ,emZL  
　　sin(π-α) = sinα BZlI g  
vioVq7z  
　　cos(π-α) = -cosα DVP2.R?  
BTfaFe^_  
　　sin(π+α) = -sinα #qMK %<3  
ed7ISO=[1%  
　　cos(π+α) = -cosα ]b4YsX  
a{H?r|a\0  
　　tanA= sinA/cosA 6iTe"`Mb  
cSd-,G$  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα (w'IB]jhq  
7ZY@'k^0 :  
　　tan（π/2－α）＝cotα FPJq#o  
.m^%kSF  
　　tan（π－α）＝－tanα _KlBYI>  
~hv QRw H  
　　tan（π＋α）＝tanα q_]c4Il  
@<|>&6nZ  
万能公式 h3x91W  
JXsqwOz )  
　　 MW'Z 9+NpH  
*/dU"pTn+  
其它公式 }#U3{+ )  
+o7otr(  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 \-Y 0vqj\  
 rzROQ{r  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9J]h. "\D  
ZzR;b'O  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 >HT_)  
@B]tj2Cq  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 aG_yKO2Q9  
Q;7,0 RiEk  
　　对于任意非直角三角形,总有 p-J4d,B '  
^N->$|,3U"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |NUryD<K?  
aE Y }Su  
　　证: PmB_L($r  
G!".usW  
　　A+B=π-C  (0 W5$  
bl3&k'~v  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w`O bHHQ  
ci8D$  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) s}UNFl  
Np* -t  
　　整理可得 ))haYV  
g3~:KXJ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T%lGz+p  
zj*  As  
　　得证 H V tO  
ZzrK( ~J:  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 tk[N6^,x   
W?$z+Nv!  
其他非重点三角函数 tK.bJ#2'}  
^ W'I<(l!  
　　csc(a) = 1/sin(a) @Klia s2  
W`zi86R5  
　　sec(a) = 1/cos(a) ",2q[e?  
qL$|U"D#  
　　 v-sLEzL  
)7VGQnPX  
双曲函数 8m (I}bXl  
9lk]^\zh{  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -5',*km2-  
Fn3 >?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :cN@m-<Y  
dk+LFl  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) r)Z$l:v  
/A,sts3LA  
　　公式一： 9,38Wm  
g O.DChAc  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： pG4K W*  
t~7o!?_Ln  
　　sin（2kπ＋α）= sinα "1 S6 \,  
:YN't<q  
　　cos（2kπ＋α）= cosα FY+eb&q$  
w>flleA{q3  
　　tan（kπ＋α）= tanα jg8[62##4  
k"Vw|e?.  
　　cot（kπ＋α）= cotα Uq.b83K  
zx)D iK=G  
　　公式二： %e.irT1  
x AH9,;$  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]z' S  
|ZyP)imHJ  
　　sin（π＋α）= -sinα =yu%>_(/1?  
vjM@U;  
　　cos（π＋α）= -cosα vf\n= gN]  
g%g_!5]t  
　　tan（π＋α）= tanα j gNn  
m:-}uX"x)  
　　cot（π＋α）= cotα ak hR5d  
||>e>A]Xh  
　　公式三： xWKnMq/)  
.psGs%2\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "ejz5C  
/X>|w"8bF  
　　sin（-α）= -sinα 2IYiP|b2  
d+j@`tKj  
　　cos（-α）= cosα & ZCNAnQS  
~`k\ LNo-  
　　tan（-α）= -tanα 6ZqhK%Tnw  
U#0=oLY  
　　cot（-α）= -cotα s+LU 1@  
4M: uK`-  
　　公式四： [ G$]m  
~qrPSv{P[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !/*c]Oo~  
jBVQa`z4Q<  
　　sin（π-α）= sinα i^ zvilD  
4&{e1O]7Z  
　　cos（π-α）= -cosα ykg4"eAEn  
}/}`A g\  
　　tan（π-α）= -tanα Y +M?A3  
J#?_^e'Q  
　　cot（π-α）= -cotα mP9~f8#P<  
-5DVg1I  
　　公式五： @:cJ}R3  
B[0]eGT3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [XNf4mFp/n  
'Q1i6= ?!8  
　　sin（2π-α）= -sinα np6Gi_x  
(@-/)/}7  
　　cos（2π-α）= cosα {9FJ,o  
K ePBz  
　　tan（2π-α）= -tanα cZI3{GV  
 ^%g^JG  
　　cot（2π-α）= -cotα KDc)"qs(  
bG;97`(|  
　　公式六： (Sp_v(  
"wuFt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： S6z_^D}  
JsuM7jlI  
　　sin（π/2+α）= cosα oN}w jJ`  
)=9WJ`Q  
　　cos（π/2+α）= -sinα ^3[}_;R0  
8%8kBt0  
　　tan（π/2+α）= -cotα |-Xm]KN  
uOog@Xm  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1{%Go+;;}  
S7R=H{j  
　　sin（π/2-α）= cosα |K(f=i!}  
> tr. BG  
　　cos（π/2-α）= sinα !|R_kb\=x  
]I3i<sWY  
　　tan（π/2-α）= cotα )(qCER1-  
z"2=mar  
　　cot（π/2-α）= tanα Z+,azb B  
.;wi;OT  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Un)d54HIn  
~_m [C+@f  
　　cos（3π/2+α）= sinα CLHB>r  
.t"W['d  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |W>[;BTl  
gY(3u] K  
　　cot（3π/2+α）= -tanα -R MMti  
)f;z2z   
　　sin（3π/2-α）= -cosα '\X(Q'k:;  
{[RkP:&8i  
　　cos（3π/2-α）= -sinα .6kGs).  
( YI}>2  
　　tan（3π/2-α）= cotα -lwPT;~5  
BQZW gG  
　　cot（3π/2-α）= tanα f;bdyG U  
f6&L6@M D  
　　(以上k∈Z) LI,YD   
VdZM#/{$z`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 98U3eF(  
xnjF_8+`]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Z^{/Em_6  
u lr~cMn  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [L`_h:C#  
AB0g{!dtR  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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