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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 x J 6^  
a{<w]=  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. U,V0;<  
L/8)^1W *  
　　1、三角函数本质： B- aF{  
4PhhGZ  
　　三角函数的本质来源于定义  <U +  
`i]%E*S%?  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %#F3  
F\|e c)FY  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 u%yzWTq  
1_jB^YI_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Ok_>Y=  
m\jy[Ep4]  
　　推导： ;vs-s7>%<D  
*E*e*x#{N*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `V5xmb  
du_pb^  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) SkL](*TS  
4R2vXY  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V-5WL'*Q  
F: T" V;X  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 S'a\n#s x  
j\LJ;Bt  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?#IYk{AJ  
yOF4]z`]  
　　[1] m|OgjR3  
{nj<EC$s  
　　两角和公式 e'}Z<a_CB  
Xx3= c:i"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB jq~z pm<  
{)*4GS5)i  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  N0hn) E  
3;i+i`us  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB t,Pr 4dn  
$:fYR[<z[L  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g2=K5,AGiA  
'X0(S1 S!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) hY)@ %ea!A  
[%CLeY<z4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *1?S=ja?  
xeQ@> W  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4}S rp   
a<BDK>}w  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {1EKRI@+.  
Ku19g 5Cx  
倍角公式 Hytao TC  
awP4<yin6  
　　Sin2A=2SinA•CosA y)#b Dv  
zHLTA]n1  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8/76|hX*67  
XY+}G OB  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >^UMmSNsK  
K"xh0,/9]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .^HW](w$_  
Fv <ICkMD  
三倍角公式 X"?g!  
7Of&c2v  
　　 $dRd$}?L  
<+WDA<Bd  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) p$i:x8 ;  
u=`TlXh$(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ~?w1Q`S  
>'lf(DA  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?qWOVp\  
*4_MJ`p  
三倍角公式推导 ziyOG 9  
^}S4="Q=8  
　　sin3a [(nwr2  
tESQ#Yb:  
　　=sin(2a+a) b]hgY+|Kt  
J$adquSv  
　　=sin2acosa+cos2asina bQx7eA 7  
@Yk+[hC  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina l !S~B%-NU  
pt3It "(I  
　　=3sina-4sin³a V KM'U  
N.S23C -D  
　　cos3a !rp-O4  
3~85Eb!K3  
　　=cos(2a+a) yi0  %[zA  
K_!'>f  
　　=cos2acosa-sin2asina ih {  
r 0n)wY  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa mN"y+CO  
4.]IA,6R  
　　=4cos³a-3cosa >4Ib\6*@  
;Nw )yb  
　　sin3a=3sina-4sin³a q'U E?F  
8dW<?s5b  
　　=4sina(3/4-sin²a) HGo!il8kWr  
?FC<Jq>~  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Y-, J  
vt+m'o0@U  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /t.:KX4;\  
^]Kt'VCy  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]R!SX rl  
F,pw]i.~~  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^[^%c<@  
^;{.lopSn  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [g< p;D  
3J^ &rWw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa U>nMH5pW]>  
G q ZH'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) . 96:  
dN@G/n$ez  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %v_rZ@'w  
HOD:('vo  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Pf*N9(oS  
5:5e>o[t  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 4'f+|''  
 Zu8R`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} n$H >s:  
('O} \I  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ` F*&[:\}  
WPHK  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] u.ag=dw  
jdo~6"qeJ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] '|8g7c  
vm_Qs`v&K  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PkdT].  
P}lsM-s]X  
　　上述两式相比可得 nN~&wf7  
slZ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) T]knX1#6!  
]{KX;se`  
半角公式 kSDd .e~  
+3V`2)e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); KM}`oe[?  
L{1-A[e0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. J@YVU  
_<{e# ac  
和差化积 / 9T~.q1  
}g@9C+fxQ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b}w-cp  
s\,Ht#@:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zv;jRER  
zE`+v  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7)UV=\0{s  
Pz}g!F  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i?}EypoY)  
bi~j,}`w  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0Ib%oC-C  
:VBv8XW'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~;Pl;m%n3  
6 5mkhZ  
积化和差 l@=W~\a  
c|K;H  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }&.[G;$  
WEz0]#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] c3%gdRtXD  
{3$Z%0Qw  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] &Md2d`F0  
gAy[+={%  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \*,Gqrr.  
H*3 [eK2  
诱导公式 o$cIl}-P  
OXpS&Hm  
　　sin(-α) = -sinα ?cjc<p6:  
k 5 ~B@I=  
　　cos(-α) = cosα eu6F)$=  
DUv#C~O %  
　　sin(π/2-α) = cosα mJWE~M?  
Ms,g*|IFh  
　　cos(π/2-α) = sinα IX + r&R  
x*\_xF$<  
　　sin(π/2+α) = cosα (.;30Q8 Y)  
a4R5|QoQ`.  
　　cos(π/2+α) = -sinα NoY?Ei ;  
_.~(<  
　　sin(π-α) = sinα )bXF%sA}  
8x%#[k*3  
　　cos(π-α) = -cosα D~'/w :.  
SrU2zBhy9  
　　sin(π+α) = -sinα s"9A]  
 Fm@e  
　　cos(π+α) = -cosα M4[8RIlF  
^uvhKIa6D  
　　tanA= sinA/cosA 9dc9g=X^  
wmm'G  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα a`dnZAg8  
AU(kZ[  
　　tan（π/2－α）＝cotα B [6v&<7U  
)@<1@p6c  
　　tan（π－α）＝－tanα pRdvE]  
IAqP0 7@=  
　　tan（π＋α）＝tanα 2NnTkx}t  
2=~9Pf  
万能公式 /h g,&EiXD  
OuJ23q vdL  
　　 4p{\"^^oi  
 vR}4-  
其它公式 9?3*4SI  
ee6|'a  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 7XQtk =}J  
5u0x(FIw  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ; DN {G6  
G #isX?):  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [A -(  
wP=VI3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 c|k :`8:s  
r 9T)IFFN  
　　对于任意非直角三角形,总有 |8L8|  
q6dt]jeIV  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q-$\x{q7  
8;*u}"%;(  
　　证: U/&9g-F  
@/&. IZrU  
　　A+B=π-C w;%@eZS  
>tOG1D  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5e?oCYS%  
.,vY+jhG!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) NZ\}J<  
.3 y$(l  
　　整理可得 5z0XY)  
;#ZuCaj"|U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P#2ar?X  
{$qST CL  
　　得证 02$<AVE  
<e`'v/ 2d*  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 /LFPY2rG  
3o-4w{\2  
其他非重点三角函数 @EXjr:y9  
Lr6't)$Y  
　　csc(a) = 1/sin(a) -;4UqPL  
9h(EMPq6  
　　sec(a) = 1/cos(a) I1LV["T?  
*+8|G} SG  
　　 JK%@0@>= x  
|mC'OahK  
双曲函数 >Y_# +jI  
4_f )JY8X5  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =g"v$!\AV  
t}_{&,W  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 -Q/Ve{Q(|  
2KA \f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &_!D\U}!  
3Zk--;I8d\  
　　公式一： k\I0 LU  
tf1"{'IY  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： l*8JKga2  
<$?M(f@#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα #+'p^vi,s  
wNcwFmM`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα AfPu$=d  
OP-}vd$Yj  
　　tan（kπ＋α）= tanα y`<\FlbI  
?9{'`=z  
　　cot（kπ＋α）= cotα SC=7czg  
wL_T:([G  
　　公式二： oq x vMm  
b}P Aj  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： W3Kzp`m}  
y []m  
　　sin（π＋α）= -sinα @^n &No~  
SCn{esh  
　　cos（π＋α）= -cosα &kK]ye[tt  
)!Y2D  
　　tan（π＋α）= tanα 1?"{VBUK  
WL;PhsH  
　　cot（π＋α）= cotα ;3@H@}  
NPU^4<fV  
　　公式三： 4'F@H5z6$[  
=(C~5@UGl~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 7 Xy Tzt_  
2uI7p.L*)d  
　　sin（-α）= -sinα QO M]GgIOf  
+f w~~  
　　cos（-α）= cosα ETY|WMmpL  
Q>w'1]l  
　　tan（-α）= -tanα 6*;";{#  
x aR  
　　cot（-α）= -cotα Pl.w{n-t.  
x,MLM  
　　公式四： ET&+#J  
iDV /QHG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e4TPZ^! ,Z  
NT gTOC"  
　　sin（π-α）= sinα @;M&2+t  
B,c8PRV  
　　cos（π-α）= -cosα Y-p Grp  
&H- a90 z  
　　tan（π-α）= -tanα YN q>|wc:  
o;k6 )qr  
　　cot（π-α）= -cotα l%^ng442  
+V p6^<J  
　　公式五： _/B5!kr^  
6~anb_m}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }2PS  
bQYv~Pj8  
　　sin（2π-α）= -sinα MGD)hu  
Qv!JC$r  
　　cos（2π-α）= cosα ol/ev=,`  
ix$7@HU  
　　tan（2π-α）= -tanα shWFwS  
FW,!WFK'7F  
　　cot（2π-α）= -cotα &xvz:03 ^  
]5O )6A  
　　公式六： y^#>ywLV  
te 9e'Jx  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： J1I3]X  
5v mG{1&  
　　sin（π/2+α）= cosα ,\<(t2:T  
ZQ<N^oO  
　　cos（π/2+α）= -sinα (YgBV )e  
c~D9]1#  
　　tan（π/2+α）= -cotα w}r6e( szO  
E;prM {R  
　　cot（π/2+α）= -tanα I" R\}]A  
h+57-f  
　　sin（π/2-α）= cosα !Gqp{WO  
'5'4lOEr6  
　　cos（π/2-α）= sinα O /R:Pgg   
? Pef)#'  
　　tan（π/2-α）= cotα ,]]^Vv9_  
-y"fGqr.7  
　　cot（π/2-α）= tanα S%q3qeG:|f  
T 6uu#}X  
　　sin（3π/2+α）= -cosα  c+ ExAwT  
& a @,w"M  
　　cos（3π/2+α）= sinα d{/IG'  
Aq -{-g  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }$u>$Qu  
fy[dNw<[t  
　　cot（3π/2+α）= -tanα eO 8-vzl  
pJv`"o|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ~-$xN[9 Hb  
! 0l 4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα k90{8q  
/zwt((dpC  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ny}p8,2  
S4 p:eR  
　　cot（3π/2-α）= tanα Cbc@vCpc\  
! |4\@m O  
　　(以上k∈Z) o3S FS  
Al h7N!q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6_=ozfP  
{C2WNRZ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = DeE"(e@{Y  
P&ciER;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {m[[AK^   
8eu#HbNi_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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