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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ]57/  
 U{+p{  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s0wpro!  
^R&W,;!  
　　1、三角函数本质： 1[hL ziSO  
\XI\*x\  
　　三角函数的本质来源于定义 , .xU&k  
1HnOY:  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =s@"M|#oo  
ZCn!kQ.Dx'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 S#<`>28Pc[  
p_B%\R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： dj:+<k   
v5XF{:m~  
　　推导： ~\HGD4\,/  
XU* D9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 q za2tZx9]  
1ka%2akh  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) eT3Zp 'U  
n^d Ov$>P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) #Yo+L.*<F  
pUP/z;<ETG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %1Or;ev n  
M' rmzdoc  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） W7ZBPsr  
Jo>)'thb{  
　　[1] I7F2/{  
C%SLZu?1MV  
　　两角和公式 K.c%etMx0  
#Me .%9Zs  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB _@m,'Zm  
5jB]1Bh  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %",.+Ycf  
cAbkJ1{5W  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB xyL]$CG+  
H Nu!eP  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8e/8l#+^  
wS&#a  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lKB*CW  
CL?a7u  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 32';1v  
%M^F4eI`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \2-G7Kd  
ZFa-N 8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7'$W_pu  
AJ bQ^(h  
倍角公式 ];Re<2V  
[ Y#|WUvMT  
　　Sin2A=2SinA•CosA +L8pH P_  
A "}-^  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ^=EH^ey  
J/VDqm$  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） }@cazgE  
\Ivep@ZT  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） (4"@Av@>V  
@19(! i`U  
三倍角公式 xC(cr;,k  
-!$)92y.p  
　　 !K IzM=k  
">?@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a^E>Yc^jB  
"J)mx  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) CtczK|LX_  
U0+t=%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2Q |s  
 wH9EX=  
三倍角公式推导 63}nmR8p  
jSH\XTt 3  
　　sin3a 4PS|"](  
8gHRY'B7%  
　　=sin(2a+a) ]Jy!XTS@  
7Xvg*ip3  
　　=sin2acosa+cos2asina CD2vEK  
,)Q#Ae/[`  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *~X'J_4,>>  
mP#&#NoY3=  
　　=3sina-4sin³a "'_d8Zj V|  
S1sNs39fe  
　　cos3a *]@XtaH/  
}Z_T Ex_@b  
　　=cos(2a+a) Qbgog#Cs2  
,lyADS,K  
　　=cos2acosa-sin2asina |MI6Fj  
B1F`au $  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa NpY*v>jsi  
R\'r&<?428  
　　=4cos³a-3cosa 7(s[RUz@  
^Ej*nhZ  
　　sin3a=3sina-4sin³a A"Z,%OR  
>N(-E^R  
　　=4sina(3/4-sin²a) N)pfC@(3  
g9jV6l^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .[`06@W  
$-!#c/G$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) x CrzMy6  
/K,\t(=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) dxSH*J>(  
&6 +]qC  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |f6/'itrka  
!IVPMK7#Vq  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +&"He7  
.l?1++_]z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa t..`,t  
:2ob0J3[  
　　=4cosa(cos²a-3/4) E?Ts  
IN]dVK#  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] E+"Fb9M}  
C(I)bWxE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ' w^!t62  
H+u&d#V  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 31'f&Lnw  
1WcRI nIZ}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f&X@bj|uIh  
\a1e' (cu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) IT4?>>?q  
~s K_>!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \KU6+4}#.  
Ia#>'T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @]8>m>B2)(  
lf|*LaNB/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) \R<U!. d  
xCtr_ kF  
　　上述两式相比可得 ve[d;/%QU  
I={9f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ~[0`6=9:*  
(cbd%u  
半角公式 P7[ovd  
}bG|E`  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x ag4@Vn],  
rzt cMs4  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. anp7#jW0j  
x^3Mu$  
和差化积 m5hx4d&L  
5($p}PX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q\&6Rc,  
R m6.4J,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] .[b:?mmZ  
LEVfbF]XH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !Y5 T_fy&  
yQI3>"a  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @b'Af[Y!  
U>AKF;dIJ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `uL~Z>ew  
=t4s\W- qE  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) bhDPyI\D:  
1(~)uWm(-  
积化和差 vX9hh/>T  
zxU}J)[H3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] C\5x /  
YO1#ZYqy B  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \_&qqD}?  
RrGr.X @  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] sUKtR)8$JA  
g#g> ,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \I9% \/K  
T{fX (#6  
诱导公式 .,8q15>7X  
:a6@xz  
　　sin(-α) = -sinα 64IC1qp  
!*[+B 7R#  
　　cos(-α) = cosα U7;> ?\  
YzJ47z@  
　　sin(π/2-α) = cosα EMrX||<b  
XmDGKl\TO  
　　cos(π/2-α) = sinα |1uc;c*>H  
IZ-dcw"t  
　　sin(π/2+α) = cosα V;C.l{e2:U  
bmka gm  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1NSNr>&&  
_'`?lbn  
　　sin(π-α) = sinα L5ek_s!$  
YG8~#!2  
　　cos(π-α) = -cosα Vz>v> m8k  
YtRIfLY9  
　　sin(π+α) = -sinα 8uwYxm3  
/I){I.N`  
　　cos(π+α) = -cosα |veN6g:t   
o@5UfTjt  
　　tanA= sinA/cosA ?wBP]MD  
`8Hbv>Rz*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα B{Hp=x_*9R  
 +v4O&Y  
　　tan（π/2－α）＝cotα |5v Dp  
!{F(O*  
　　tan（π－α）＝－tanα pGD`#@[  
Xzf+Kn>)  
　　tan（π＋α）＝tanα ?^<D*w%  
a?3?I.^M;  
万能公式 -r kl=br>9  
qvDY9@Ij|  
　　 "} ) k  
8cp/-gX32  
其它公式 ke&dC<#:  
GGUp%y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8},>_c\%y  
H 7qQ'^5  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 27!;?[}%  
8Et5">X  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 2(i D))$R  
yKh\;  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 I6t|_^En ;  
=cSbE*  
　　对于任意非直角三角形,总有 ;m}"Yt%ao  
G5IM^QA9W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j~spIWi\  
9#N%&Y!  
　　证: n29L. Qz  
^v/''MaIc  
　　A+B=π-C k9Q{q8}  
+<:m"h{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) w}kXiK% La  
&r;~&+%@6s  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) e6JOKHYM3  
s'#24~@  
　　整理可得 '');=]DN:}  
lE/0vgX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC fz_6R& aQZ  
h||6)`  
　　得证 L \^}h  
EN @x]poj  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,u>F9&\cs  
je[uqr  
其他非重点三角函数 D`(&v:1  
:c)OQ9  
　　csc(a) = 1/sin(a) %Zmpq><<  
{>Hx :+a  
　　sec(a) = 1/cos(a) /?Ct6%  
-SW^~ . #  
　　 &p$/J+ ))  
*c<2!?Iw  
双曲函数 e=E1vl  
u4b^\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G MD#Dx6\  
&eP#kAr  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 p43jGk  
|Q3M 7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) qb1k.  
T,_VW i  
　　公式一： ;~e}7}%  
>bz*jLq2  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： >UC~BNct  
-f|=0@1jK  
　　sin（2kπ＋α）= sinα tMR 6d1:8  
jM1#A,2XEP  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5~ ,;  
n&<MQb}h@  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7-<QIkMK  
qFzvV/  
　　cot（kπ＋α）= cotα &/Q6>|OKC  
"p;FMh$Ux  
　　公式二： PozqYTr,Qm  
+8mw^+"4JX  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： P~-Z1x'  
p ff 'G  
　　sin（π＋α）= -sinα ; H[tp:  
rII" [^  
　　cos（π＋α）= -cosα oq_RBH8:  
.}_l/.]jK&  
　　tan（π＋α）= tanα l[Otmo?  
L7^i#%Z>  
　　cot（π＋α）= cotα Y1wbDi|-E*  
|79I [v  
　　公式三： ZjNk)"z  
iX+ %E:  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： #zbtrofqV  
7GIN9 %YV  
　　sin（-α）= -sinα dk9`WC-jZ  
}4"r?;f  
　　cos（-α）= cosα 4CMQD<d5v!  
{6);cJ0  
　　tan（-α）= -tanα :s&LrT?Yi  
?Og~=<R  
　　cot（-α）= -cotα yPGPR\-&&  
+MQ_`  
　　公式四： 2~Kup>f8  
Zz5Pigm  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： (nyD2%b9g  
MUZyap_  
　　sin（π-α）= sinα B wc.-DW`  
m:ZU  4\  
　　cos（π-α）= -cosα 5q[kVC7  
zxGv+F}6  
　　tan（π-α）= -tanα GUh 5#Oq)  
6rKFPjHp  
　　cot（π-α）= -cotα T(dMG(]  
C2Wm-myBA  
　　公式五： kz_u2k  
%TDC3r:N\  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： V)VR>Ues.  
uw_Oe8X  
　　sin（2π-α）= -sinα 3vB!#qep  
J_6N-B;*I  
　　cos（2π-α）= cosα iC31gi?=  
S\pR\ODb  
　　tan（2π-α）= -tanα 8q(;i jV  
<RrPU7C ~  
　　cot（2π-α）= -cotα y"-J*=R#  
0"Mf7L)  
　　公式六： &w(VJjX  
"#O0E Tk  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @;GPV^hM],  
JyQH9TjQ  
　　sin（π/2+α）= cosα 7T*5zS  
m`qDw)Ms  
　　cos（π/2+α）= -sinα ' Q\g }  
>)L*C~THT  
　　tan（π/2+α）= -cotα (aI/< (  
d,PPuYE  
　　cot（π/2+α）= -tanα rz9sXDGFtO  
3i]&tFr]y[  
　　sin（π/2-α）= cosα 0> sSW]  
]nXYZw0  
　　cos（π/2-α）= sinα PzLUq+xy,b  
zBdmPuk  
　　tan（π/2-α）= cotα 10 CY,  
x/jU!SDp  
　　cot（π/2-α）= tanα klg] e  
9.#P~] X  
　　sin（3π/2+α）= -cosα UN 3!V&  
j o';L"~  
　　cos（3π/2+α）= sinα e"l>y/^WQ  
|+I5kLwl1  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  ^ @t8T  
lZ+I::  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4d2,g7nIc  
h4hKcz\>>  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 3~KA, ]  
e,f% I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα .0glf?1v  
z?3! A  
　　tan（3π/2-α）= cotα #q(T"_xv~  
 e\bqyf  
　　cot（3π/2-α）= tanα t uQq}m"  
A10"(<  
　　(以上k∈Z) :-{N;s`Um  
gXQ86n/(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 bM;0+AUDsk  
"!g:Vjam  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = WY\ NpT]  
}-C a7pLM  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } r$u1 D"$d  
@Ol:|S  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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